Math 1151 Written Homework 1 Ohio State

SPRING 2015 

MIDTERM II STUDY GUIDE 

MATH 1151: 

10 MARCH 

CALCULUS I 

WORKING DERIVATIVES 

Definitions of Derivatives: 

DERIVATIVE SHORTCUTS 

[d/dx] [x

n

] = (n)(x)

n-1

[d/dx] [Cx] = C 

[d/dx] [C] = 0

     [d/dx] [x

1

] = (1)(x)

1-1

 = 1 

[d/dx] [2x] = 2 

[d/dx] [3] = 0

Derivative Rules:   

f ’(x) = [dy/dx] = [d/dx] [f(x)]

I. 

Sum/Difference Rule 

[d/dx] [f(x) + g(x)] = f ‘(x) + g ‘(x) 

II. 

Product Rule 
a.  [d/dx] [f(x) * g(x)] = f ‘(x)g(x) + f(x)g ‘(x) 

III. 

Quotient Rule 
a.  [d/dx] [f(x) / g(x)] = [f ‘(x)g(x) - f(x)g ‘(x)] / [g (x)]

2

IV. 

Chain Rule 
a.  [d/dx] [f(g(x))] = f ‘(g(x)) g ‘(x) 

V. 

Exponential Rule 
a.  [d/dx] [e

x

] = [e

x

]

VI. 

Trigonometry Rule 
a.  [d/dx][sin x] = cos x 
b.  [d/dx][cos x] = - sin x 
c.  [d/dx][tan x] = sec

2

 x

d.  [d/dx][csc x] = - csc x cot x 
e.  [d/dx][sec x] = sec x tan x 
f.  [d/dx][cot x] = - csc

2

 x

Extra Shortcuts:  

REMEMBER!

 

[d/dx] [e ] = [e

y

] [dy/dx]

y

 

[d/dx] [e

x

] = [e

x

] [d/dx]

 = [e

x

 

[d/dx][log

c

(y)] = [log

c

(e) / y]

 [dy/dx] 

 

[d/dx][log

c

(x)] = [log

c

(e) / x]

 [d/dx] = [log

c

(e) / x]

 

[d/dx] [c

y

] = [(c

y

)][ln(c)] [dy/dx] 

SPRING 2015 

MIDTERM II STUDY GUIDE 

MATH 1151: 

10 MARCH 

CALCULUS I 

 

[d/dx] [c

x

] = [(c

x

)][ln(c)] [d/dx]

 = [(c

x

)][ln(c)]

 

[d/dx] [ln(x)] = [1/x] [dy/dx] 

 

[d/dx] [ln(x)] = [1/x] [d/dx] = [1/x]

LOGARITHMIC DIFFERENTIATION 

Differentiation Steps:  

1.  Take ln of both sides. 
2.  Differentiate to get [d/dx] [ln(f(x))]. 
3.  Find f ‘(x) using the rule [d/dx] [ln(f(x))] = f ‘(x) / f(x) 

INVERSE TRIGONOMETRIC FUNCTIONS DERIVATIVES 

a.  [d/dx] (sin

-1

) = [1 / 

(1 - x

2

)]

b.  [d/dx] (cos

-1

) = - [1 / 

(1 - x

2

)]

c.  [d/dx] (tan

-1

) = [1 / (1 + x

2

)]  

d. 

[d/dx] (csc

-1

) = [- 1 / (|x|

(1 - x

2

))] 

e.  [d/dx] (sec

-1

) = [1 / (|x|

(1 - x

2

))]

f. 

[d/dx] (cot

-1

) = [- 1 / (1 + x

2

)

DERIVATIVES AS RATES OF CHANGE 

distance travelled

*If 

determined by a time

t

   is

s(t)

, then

velocity

over said time is determined by 

its

first derivative as [d/dx] [s(t)] 

or

s’(t)

and

acceleration 

over said time by the

second derivative 

as [d/dx] [d/dx][s(t)] 

or

s’’(t). 

ex

1

. Suppose an object is moving horizontally with position function given by s(t) = t

3

-6t

2

+9t. 

a.  Find the velocity function, v(t). 

a.  [d/dx] [s(t)] = 3t

3-1

-6(2)t

2-1

+9(1)t

1-1

i. 

v(t) = 3t

2

-12t+9 

b.  Find the acceleration function, a(t). 

a.  [d/dx] [s’(t)] = 3(2)t

2-1

-12(1)t

1-1

+0 

i. 

a(t) = 6t-12 

c.  When is the object as rest? 

a.  The object is a rest when its velocity is zero, so: 

i. 

v(t) = 3t

2

-12t+9 = 0 

ii.  v(t) 

= 3(t

2

-4t+3) = 0 

SPRING 2015 

MIDTERM II STUDY GUIDE 

MATH 1151: 

10 MARCH 

CALCULUS I 

iii.  v(t) 

= 3(t-3)(t-1) = 0 

At t = 1, 3 

d.  When is the object moving in the positive direction? 

a.  When v(t) > 0 

i. 

3(t-3)(t-1) > 0   

At (-∞, 1)U(3, ∞) 

e.  Sketch the motion of the object: 

ex

2

. A company is producing tablet computers. The total cost of producing x tablets is given by 

C(x)=5x

2

+15x+200. 

Marginal Cost = The First Derivative = C’(x) = 10x+15 

IMPLICIT DIFFERENTIATION 

Finding [dy/dx]:

Step 1. 

Take [d/dx] of both sides. 

Step 2. 

Solve for [dy/dx] or y’. 

ex. Find [dy/dx] of x

- y

= 4xy through implicit differentiation. 

Step 1. 

(x

- y

3

)

=

[dy/dx] 

[dy/dx]

(4xy) 

Step 2. 

3x

2

 – 3y

2

 = 4y + 4x  

y’

y’

     3x

2

 – 4y = (4x + 3y

2

)  

y’

  y’ = (3x

2

 – 4y) / (4x + 3y

2

Related Rates 

Shape Measurements:

*The measurements of shapes tend to be very necessary for dealing with most related rates problems. 

SHAPES 

PERIMETER 

AREA 

VOLUME 

SURFACE AREA 

Circle 

(circumference) = 

2*π*r = π*d 

π*r

Sphere 

4

/

3

*π*r

3

4*π*r

2

Triangle 

side

1

 + side

2

 +side

3

(of insolence 

triangle) = ½*b*h 

Быть может, я мог бы позвонить в номер и… - Простите, - сказал консьерж, и вся его любезность мгновенно улетучилась.  - В «Альфонсо Тринадцатом» строгие правила охраны приватности постояльцев. Беккера не устраивала перспектива ждать десять часов, пока тучный немец со своей спутницей спустятся к завтраку.

0 thoughts on “Math 1151 Written Homework 1 Ohio State

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *